6.关于函数f(x)=x3-3x2有下列命题,其中正确命题的序号是____________.

①f(x)是增函数 ②f(x)是减函数，无极值 ③f(x)的增区间是(-∞,0)和(2,+∞)，减区间为(0，2) ④f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值

思路解析：f′(x)=3x2-6x,令f′(x)=0,则x=0或x=2.利用极值的求法可求得x=0是极大值点,x=2是极小值点.

答案:③④

我综合 我发展

7.求函数f(x)=x2·e-x的极值.

思路分析:利用求极值的基本方法,首先从方程f′(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.

解:函数定义域为R,则f(x)=,所以f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,得x=0或x=2,当x＜0或x＞2时,f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上是减函数,当0＜x＜2时,f′(x)＞0.

∴函数f(x)在(0,2)上为增函数.∴当x=0时,函数取得极小值f(0)=0;x=2时,函数取得极大值f(2)=4e-2.

8.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1，

(1)试求常数a、b、c的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解:(1)由f′(-1)=f′(1)=0，得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.

又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.

∴a=,b=0,c=.

(2)f(x)=x3x,

∴f′(x)=x2=(x+1)(x-1).

当x＜-1或x＞1时,f′(x)＞0;当-1＜x＜1时,f′(x)＜0.

∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数.

∴当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.

9.已知函数f(x)=有极小值2,求a、b应满足的关系.

思路分析:解题的成功要靠正确思路的选择,本题从逆向思维的角度出发,根据题设结构进行逆向联想.

解:由f(x)得f′(x)=.

∵f(x)有极小值，故方程x2-a=0有实根.

∴a＞0.由f′(x)=0得两根为与.显然有f′(x)=时,f′(x)＞0;

当＜x＜0时，f′(x)＜0;当0＜x＜时，f′(x)＜0;x＞时，f′(x)＞0.故