∴当R=√2时y最大为4,圆柱侧面积最大为8π.

答案:D

5.某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为(　　)

A.32 m,16 m B.30 m,15 m

C.40 m,20 m D.36 m,18 m

解析:设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m,其他两边边长为y m,则xy=512,新墙的周长l=x+2y=512/y+2y(y>0),令l'=-512/y^2 +2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0

　　当y>16时,l'>0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x=512/16=32.

答案:A

6.某商场根据以往规律预计某种商品2017年第x月的销售量f(x)=-3x2+40x(x∈N+,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(x∈N+,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是(　　)

A.3 120元 B.3 125元 C.2 417元 D.2 416元

解析:该商场预计销售该商品的月利润为

　　g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)

　　=6x3-185x2+1 400x,

　　g'(x)=18x2-370x+1 400.

　　令g'(x)=0,解得x=5,x=140/9(舍去).

　　当1≤x≤5时,g'(x)>0;

　　当5

　　∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(元).

　　综上所述,5月份的月利润最大是3 125元.

答案:B

7.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1 200+2/75x3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为　　　　　件.

解析:设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,由题知k=250 000,则a2x=250 000,所以a=500/√x.

　　总利润y=500√x-2/75x3-1 200(x>0),y'=250/√x-2/25x2,由y'=0,得x=25,x∈(0,25)时,y'>0,x∈(25,+∞)时,y'<0,所以x=25时,y取最大值.

答案:25

8.做一个无盖的圆柱水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为　　　　　.

解析:用料最省,即水桶的表面积最小.

　　设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为27/r^2 ,所以S=πr2+2πr×27/r^2 =πr2+54π/r(r>0),求导数,得S'=2πr-54π/r^2 ,令S'=0,解得r=3.

　　当03时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.

答案:3

9.向高为8 m,底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水,其速度为8/3 m3/min,则当水深为5 m时,水面上升的速度为　　　　　　　　.

解析:设注水t min时,水的深度为h m,则容器内水的体积为8/3t=1/3h2·h,

　　则h=2∛t,所以h'(t)=2/3 1/∛(t^2 ).

　　当h=5时,t=125/8,故v=h'(125/8)=8/75 m/min.

答案:8/75 m/min

10.已知函数f(x)=(1+lnx)/x.

(1)若k>0,且f(x)在区间(k"," k+3/4)上存在极值,求实数k的取值范围;