5.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则FM∶MN=________.
解析:如图所示,
过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,则由抛物线的定义知MM′=FM,所以=,由于△MM′N∽△FOA,则==,则MM′∶MN=1∶,即FM∶MN=1∶.
答案:1∶
6.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是____________.
解析:将x=4代入抛物线方程y2=4x,得y=±4,|a|>4,所以A在抛物线的外部,如图所示.由题意知F(1,0),抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为PN,由定义知,PA+PM=PA+PN-1=PA+PF-1.当A,P,F三点共线时,PA+PF取最小值,此时PA+PM也最小,最小值为AF-1=-1.
答案:-1
7.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为,求此抛物线方程.
解:设抛物线方程为:x2=ay(a≠0),
由方程组
消去y得:2x2-ax+a=0,
∵直线与抛物线有两个交点,
∴Δ=(-a)2-4×2×a>0,即a<0或a>8.
设两交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
弦长为|AB|=
=