自主广场
我夯基我达标
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
思路解析:根据排序原理,取两组数a,b,c;a2,b2,c2,不妨设a≥b≥c,所以a2≥b2≥c2.所以a2×a+b2×b+c2×c≥a2b+b2c+c2a.
答案:B
2.设a1,a2,...,an都是正数,b1,b2,...,bn是a1,a2,...,an的任一排列,则a1b1-1+a2b2-1+...+anbn-1的最小值是( )
A.1 B.n C.n2 D.无法确定
思路解析:设a1≥a2≥...≥an>0.可知an-1≥an-1-1≥...≥a1-1,由排序原理,得a1b1-1+a2b2-1+...+anbn-1≥a1-1+a2a2-1+...+anan-1≥n.
答案:B
3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( )
A.大于零 B.大于等于零
C.小于零 D.小于等于零
思路解析:设a≥b≥c>0, 所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.
又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.
即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
答案:B
4.已知a,b,c都是正数,则≥__________.
思路解析:设a≥b≥c≥0,所以,由排序原理,知,①
,②
①+②,得.
答案:
5.设a,b,c都是正数,求证:a+b+c≤.
证明:由题意不妨设a≥b≥c>0.
由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
根据排序原理,得
a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①
又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.