解析：∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，

　　∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，

　　将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，

　　∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.

　　答案：6

　　2．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

　　解析：依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，

　　f′(1)＝g′(1)＋2＝4.

　　答案：4

　　3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

　　解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1.

　　∵y′＝(ex)′＝ex，

　　∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，

　　得y0＝1，即P(0,1)．

　　利用点到直线的距离公式得距离为.

　　4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

　　(1)求f(x)的解析式；

　　(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

　　解：(1)由7x－4y－12＝0得

　　y＝x－3.

　　当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①

　　又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②

　　由①，②得

解之得.