③f(x)在区间(-∞,0),(2,+∞)内是增加的;

④f(x)有极大值0,极小值-4.

其中正确命题的序号为　　　　　.

解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,此时函数f(x)是增加的;

　　当x∈(0,2)时,f'(x)<0,此时函数f(x)是减少的;

　　当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)是增加的.

　　所以当x=0时,f(x)有极大值f(0)=0;

　　当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-4.

　　故③④正确.

答案:③④

7.如图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法:

①f(x)在[-2,-1]上是增加的;

②x=-1是f(x)的极小值点;

③f(x)在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的;

④3是f(x)的极小值点.

其中正确的是　　　　　.(填序号)

解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断.

答案:②③

8.函数y=sin x+cos x在[0,π]上的极大值为　　　　　.

解析:∵y=sin x+cos x,

　　∴y'=cos x-sin x.

　　令y'=0,则x=π/4.

　　∴当x在[0,π]上变化时.

　　f'(x)和f(x)在[0,π]上的变化情况如下表:

x [0"," π/4) π/4 (π/4 "," π] f'(x) + 0 - f(x) ↗ √2 ↘ 由表可知在[0,π]上极大值为√2.

答案:√2

9.求下列函数的极值:

(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=lnx/x.

解:(1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f'(x)=3x2-6x-9.

　　解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.

　　当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 10 ↘ -22 ↗ 因此,x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10;x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-22.

　　(2)函数f(x)=lnx/x的定义域为(0,+∞),且f'(x)=(1"-" lnx)/x^2 ,令f'(x)=0,得x=e.

　　当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:

x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 1/e ↘