课时作业25　导数的运算法则

知识点一 导数的运算法则

1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为(　　)

A.1 B.

C.－1 D.0

答案　A

解析　∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，

又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案　D

解析　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.

知识点二 求曲线的切线方程

3.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)

A.30° B.45°

C.60° D.120°

答案　B

解析　设倾斜角为α，∵y′＝3x2－2，

∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，∴α＝45°.

4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(　　)

A.1 B.±1

C.－1 D.－2

答案　A

解析　设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，

所以3x0＋1＝ax＋3.①

对y＝ax3＋3求导，得y′＝3ax2，

则3ax＝3，ax＝1.②

由①②可得x0＝1，所以a＝1.

知识点三 导数的综合应用

5.设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

解　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，