解:连接PF2,如图.

　　设|F1F2|=2c,

　　由(MP) ⃗=3(PF_1 ) ⃗知|PF1|=1/4|MF1|.

　　又△MF1F2为正三角形,

　　∴|PF1|=1/4×2c=1/2c,∠PF1F2=60°.

　　由余弦定理可得,

　　|PF2|=√("(" 2c")" ^2+(1/2 c)^2 "-" 2"·" 2c"·" 1/2 ccos60"°" )

　　=√(4c^2+1/4 c^2 "-" c^2 )=√13/2c.

　　根据双曲线定义有

　　2a=|PF2|-|PF1|=(√13 "-" 1)/2c,

　　∴离心率e=c/a=4/(√13 "-" 1)=(√13+1)/3.

12.已知双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P,使(sin∠PF_1 F_2)/(sin∠PF_2 F_1 )=a/c,求该双曲线的离心率的取值范围.

解:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,

　　由题意及正弦定理,得n/m=a/c,∴n=a/cm.

　　又m-n=2a,∴m-a/cm=2a,

　　即(1"-" a/c)m=2a,∴m=2ac/(c"-" a).

　　又m>c+a,∴2ac/(c"-" a)>c+a,

　　即c2-2ac-a2<0,两边同除以a2,

　　得e2-2e-1<0,

　　∴1-√2

　　又e>1,∴1