6.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量a+b与a-b的夹角为　　　　.

　　【解析】由题意知a+b=(cos α+sin α,2,sin α+cos α),

　　a-b=(cos α-sin α,0,sin α-cos α),

　　所以(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0,所以a+b与a-b的夹角为90°.

　　【答案】90°

7.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且(OA) ⃗=e1+2e2-e3,(OB) ⃗=-3e1+e2+2e3,(OC) ⃗=e1+e2-e3,能否以(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗作为空间的一个基底?

　　【解析】假设(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗共面.根据向量共面的充要条件,有(OA) ⃗=x(OB) ⃗+y(OC) ⃗(x,y∈R),

　　即e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,

　　∴{■("-" 3x+y=1"," @x+y=2"," @2x"-" y="-" 1"," )┤此方程组无解.

　　∴(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗不共面.

　　∴{(OA) ⃗,(OB) ⃗,(OC) ⃗}可作为空间的一个基底.

拓展提升(水平二)

8.已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(　　).

　　A.(4,0,3) B.(3,1,3)

　　C.(1,2,3) D.(2,1,3)

　　【解析】设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y, ),

　　则p=x(a+b)+y(a-b)+ c=(x+y)a+(x-y)b+ c.　①

　　∵p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),

　　∴p=4a+2b+3c,　②

　　由①②得{■(x+y=4"," @x"-" y=2"," @z=3"," )┤解得{■(x=3"," @y=1"," @z=3"," )┤

　　即p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).

　　【答案】B

9.设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记(D_1 P)/(D_1 B)=λ,当∠APC为钝角时,λ的取值范围是(　　).

　　A.(1/3 "," 1/2) B.(1/4 "," 1)

　　C.(1/2 "," 1) D.(1/3 "," 1)

　　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

　　则点A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

　　所以(D_1 B) ⃗=(1,1,-1),(D_1 P) ⃗=λ(D_1 B) ⃗=(λ,λ,-λ),

　　(D_1 A) ⃗=(1,0,-1),(D_1 C) ⃗=(0,1,-1),

　　故(PA) ⃗=(PD_1 ) ⃗+(D_1 A) ⃗=(1-λ,-λ,λ-1),(PC) ⃗=(PD_1 ) ⃗+(D_1 C) ⃗=(-λ,1-λ,λ-1).

显然∠APC不是平角.