在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)．

　　(1)证明：\s\up6(→(→)＝(－3,0,0)，\s\up6(→(→)＝(0，－4,4)，

　　因为\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，

　　所以\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→).所以AC⊥BC1.

　　(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，

　　则\s\up6(→(→)＝λ\s\up6(→(→)＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)．

　　于是\s\up6(→(→)＝(3－3λ，4λ，0)．

　　由于\s\up6(→(→)＝(－3,0,4)，且AC1⊥CD，

　　所以－9＋9λ＝0，得λ＝1.

　　所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合．

　　(3)假设在AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，

　　则\s\up6(→(→)＝λ\s\up6(→(→)＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)．

　　\s\up6(→(→)＝(3－3λ，4λ－4，－4)．

　　又\s\up6(→(→)＝(0，－4，－4)，

　　由于\s\up6(→(→)＝(－3,0,4)，AC1∥平面CDB1，

　　所以存在实数m，n，使\s\up6(→(→)＝m\s\up6(→(→)＋n\s\up6(→(→)成立，

　　所以所以λ＝.

所以在AB上存在点D，使得AC1∥平面CDB1，且D是AB的中点．