2019-2020学年人教A版选修4-5 第四章 一 数学归纳法 作业
2019-2020学年人教A版选修4-5 第四章 一 数学归纳法 作业第3页

  又f(2)=1,

  所以f(3)=3,f(4)=6,f(5)=10,f(n+1)=f(n)+n.

  答案:3 6 10 n

  9.用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)=(n∈N+).

  证明:(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边==6,等式成立.

  (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即

  1×2×3+2×3×4+...+k(k+1)(k+2)

  =,

  那么当n=k+1时,1×2×3+2×3×4+...+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)=+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).

  即当n=k+1时等式成立.

  综合上述(1)(2)得,对一切正整数n,等式都成立.

  10.证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)(n≥4,n∈N+).

  证明:(1)当n=4时,四边形有两条对角线,f(4)=×4×(4-3)=2,命题成立.

  (2)假设当n=k(k≥4,n∈N+)时命题成立,

  即f(k)=k(k-3),那么,当n=k+1时,增加一个顶点,凸多边形的对角线增加k-1条,则f(k+1)=k(k-3)+k-1=(k2-k-2)=(k+1)(k-2)=(k+1)[(k+1)-3],

  即当n=k+1时命题也成立.

  根据(1)(2),可知命题对任意的n≥4,n∈N+都成立.

  [B 能力提升]

  1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(  )

  A.30 B.26

  C.36 D.6

解析:选C.因为f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,