4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)

A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

答案　D

解析　因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．

假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)，

所以∠A1＝90°－∠A2.

同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.

又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，

∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.

这与三角形内角和等于180°矛盾，

所以原假设不成立．故选D.

二、填空题

5．命题"a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1"用反证法证明时应假设为________．

答案　a≠1或b≠1

解析　"a＝b＝1"的反面是"a≠1或b≠1"，所以设为a≠1或b≠1.

6．用反证法证明"一个三角形不能有两个钝角"有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个钝角．

③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°.

上述步骤的正确顺序为__________．

答案　③①②

解析　根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.

7．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．

答案　{a|a≤－2或a≥－1}

解析　假设两个一元二次方程均无实根，则有

即

解得{a|－2

－1}即为所求的a的取值范围．

三、解答题

8．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．

证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根