§3　双曲线

3.1　双曲线及其标准方程

课时过关·能力提升

1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是(　　)

A.双曲线 B.双曲线的左支

C.一条射线 D.双曲线的右支

解析:本题容易犯片面性错误,从而根据双曲线的定义得出错误结果.由于|PM|-|PN|=4恰好等于这两个定点间的距离,故其轨迹是一条射线.

答案:C

2."ab<0"是"方程ax2+by2=c表示双曲线"的(　　)

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案:A

3.若双曲线x^2/a^2 -y^2/5=1与椭圆x^2/25+y^2/16=1有共同的焦点,且a>0,则a的值为(　　)

A.2 B.√14

C.√46 D.6

解析:∵椭圆x^2/25+y^2/16=1的焦点坐标为(±3,0),

　　∴a2+5=9,a2=4.

　　∵a>0,∴a=2.

答案:A

4.若椭圆x^2/m+y^2/n=1(m>n>0)和双曲线x^2/s-y^2/t=1(s,t>0)有相同的焦点F1和F2,而P是这两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是(　　)

A.m-s B.1/2(m-s)

C.m2-s2 D.√m-√s

解析:不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点,

　　由题意得{■("|" PF_1 "|" +"|" PF_2 "|" =2√m "," @"|" PF_1 "|-|" PF_2 "|" =2√s "," )┤

　　解得{■("|" PF_1 "|" =√m+√s "," @"|" PF_2 "|" =√m "-" √s "," )┤

　　则|PF1|·|PF2|=(√m+√s)(√m-√s)=m-s.

答案:A

5.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-√5,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是(　　)

A.x^2/4-y2=1 B.x2-y^2/4=1

C.x^2/2-y^2/3=1 D.x^2/3-y^2/2=1

解析:由题意可设双曲线方程为x^2/a^2 -y^2/(5"-" a^2 )=1,

　　又由中点坐标公式可得P(√5,4),

　　∴5/a^2 -16/(5"-" a^2 )=1,解得a2=1.

答案:B