A.极大值为，极小值为0 B.极大值为0，极小值为

C.极小值为，极大值为0 D.极小值为0，极大值为

答案：A

解析:∵f(x)与x轴切于(1,0)点,f′(x)=3x2-2px-q.

∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,

∴p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x.由此可求出其极大值为，极小值为0.

2.三次函数当x=1时有极大值4,当x=3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )

A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x

C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x

答案：B

解析:三次函数过原点,可设f(x)=x3+bx2+cx,f′(x)=3x2+2bx+c,由题设知f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0,

∴b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x;f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).

当x=1时,f(x)max=4;

当x=3时,f(x)min=0,满足条件.

3.(1)函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则b的取值范围是_____________.

(2)函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的范围是_____________.

解析:(1)利用导数,由题设可得f′(x)=3x2-3b,若该函数在(0,1)内有极小值,只需该二次函数的较大根在此区间内即可,即0

(2)f′(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),

令f′(x)=0,得x=±a,

当-a

当x>a或x<-a时,f′(x)>0,函数递增.

∴f(-a)=-a3+3a3+a>0,f(a)=a3-3a3+a<0.

解之,得a>.

答案:(1)0

(2)a>

4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_____________.

解析:x=2是f(x)的极大值点,

∵f(x)=x(x2-2cx+c2),

∴f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.

∴f′(2)=c2-8c+12=0.

∴c=2或c=6.

当c=2时,不能取极大值,∴c=6.

答案:6

5.函数y=x3-6x+a的极大值为_____________,极小值为_____________.