本题考查函数的最值求法，以及函数对称性和单调性，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．将对称性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据对称性判断出函数在对称区间上的单调性(轴对称函数在对称区间上单调性相反，中心对称函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性求解.

　　12．A

　　【解析】

　　【分析】

　　可先设g(x)=4^x+log_4 (√(x^2+1)+x)-4^(-x)，根据要求的不等式，可以判断g(x)的奇偶性及其单调性，容易求出g(-x)=-g(x)，通过解析式可判断其单调性，从而原不等式可变成，g(3x+1)>g(-x)，而根据g(x)的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集.

　　【详解】

　　设g(x)=4^x+log_4 ((√(x^2+1)+x)-4^(-x),

　　则g(-x)=4^(-x)+log_4 (√(x^2+1)-x)-4^x，

　　可得g(x)+g(-x)=0，

　　由解析式易知g(x)在R上单调递增；

　　∴由f(3x+1)+f(x)>4得，g(3x+1)+2+g(x)+2>4；

　　∴g(3x+1)>-g(x)，即为g(3x+1)>g(-x)，

　　得3x+1>-x，

　　解得x>-1/4，

　　∴原不等式的解集为(-1/4,+∞)．

　　故选A．

　　【点睛】

　　本题考查对数的运算，奇函数的判断方法，函数单调性的应用，属于中档题．判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， f(-x)=±f(x)(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， f(-x)±f(x)=0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， f(-x)/f(x) =±1（1 为偶函数，-1 为奇函数） .

　　13．14

　　【解析】

　　【分析】

　　推导出f(a)=2^a+2^(-a)=4，从而f(2a)=2^2a+1/2^2a =(2^a+1/2^a )^2-2，由此能求出结果．

　　【详解】

　　∵f(x)=2^x+2^(-x)，f(a)=4，

　　∴f(a)=2^a+2^(-a)=4，

　　∴f(2a)=2^2a+1/2^2a =(2^a+1/2^a )^2-2=16-2=14．

　　故答案为14．

　　【点睛】

　　本题考查函数值的求法，指数的运算法则，意在考查考查推理能力与计算能力以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．

　　14．(1,4)

　　【解析】

　　【分析】

　　由对数式的真数大于0求得函数定义域，再利用二次函数的单调性求出内函数的增区间即可．

　　【详解】

　　由-x^2+8x-7>0，得1

　　令t=-x^2+8x-7，

　　外函数y=lgt为增函数，

　　内函数t=-x^2+8x-7的对称轴方程为x=4．

　　且在(1,4)上为增函数，

　　∴函数f(x)=lg(-x^2+8x-7)的单调增区间为(1,4)．

　　故答案为(1,4)．

　　【点睛】

　　本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是"同增异减"，是中档题.

　　15．3

　　【解析】

　　试题分析：由题意有：，因此满足，则

　　所以。故填3.

考点：本题考查对数函数恒过（1,0）的性质以及幂函数解析式及函数值的求法。