4.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选D.

5.设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(　A　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为t1=0,t2=-tan θ(tan θ≠0),则过A,B两点的直线方程为y= -xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.故选A.

6.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(　D　)

(A)抛物线 (B)椭圆

(C)双曲线的右支 (D)一条直线

解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得

|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得 |F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.

7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线ABC运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(　D　)