A.90° B.60° C.45° D.30°

解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.

答案:C

6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为　　　　　.

解析:cos=(v"·" u)/("|" v"||" u"|" )=("-" 3)/(√6×√6)=-1/2,

　　∴sin θ=1/2(θ为l与α的夹角).∴θ=30°.

答案:30°

7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为　　　　　.

解析:作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM,则∠CAD=30°,CD=1/2 AC,CM=AM=√2/2 AC,所以sin∠CMD=CD/CM=√2/2,故∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°.

答案:45°

★8.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=√6,那么二面角P - BC - A的大小为　　　　　.

解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P - BC - A的平面角.易知∠PDA=90°.

答案:90°

9.在三棱锥P - ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,AB=BC=2√3,求AC与平面PBC所成角的大小.

分析:本题可以建立适当坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.

解:由题意PA=PB=PC,点P在△ABC内的射影O为△ABC的外心,即点P在△ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC⊥面ABC,所以O为AC的中点,且∠ABC=90°,以O为原点,(OB) ⃗,(OC) ⃗,(OP) ⃗为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0,√3),B(√6,0,0),C(0,√6,0),A(0,-√6,0).

　　设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=(√2,√2,2),(AC) ⃗=(0,2√6,0).

　　设AC与平面PBC所成的角为θ,

　　则sin θ=|cos|=(4√3)/(8√3)=1/2,所以θ=30°.

故AC与平面PBC所成角的大小为30°.