①-②,得|b|2=|d|2,

　　①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.

　　同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.

　　∵(AB) ⃗∥(CD) ⃗,∴a=-c.

　　又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,

　　即b·(2a)=0.∴a·b=0,

　　∴(AB) ⃗⊥(BC) ⃗.故四边形ABCD为正方形.

B组　能力提升

1.若(AB) ⃗·(BC) ⃗+(AB) ⃗^2=0,则△ABC为(　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.锐角三角形 D.等腰直角三角形

解析∵(AB) ⃗·(BC) ⃗+(AB) ⃗^2=0,∴(AB) ⃗·(BC) ⃗+(AB) ⃗·(AB) ⃗=0,

　　∴(AB) ⃗·((BC) ⃗+(AB) ⃗)=0,

　　∴(AB) ⃗·(AC) ⃗=0,∴(AB) ⃗⊥(AC) ⃗,

　　∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.

答案A

2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则(OP) ⃗·(AB) ⃗=(　　)

A.6 B.-6 C.12 D.-12

解析如图,设AB的中点为M,则(OP) ⃗·(AB) ⃗=((OM) ⃗+(MP) ⃗)·(AB) ⃗=(OM) ⃗·(AB) ⃗=1/2((OA) ⃗+(OB) ⃗)·((OB) ⃗-(OA) ⃗)=1/2((OB) ⃗^2-(OA) ⃗^2)=-6.

答案B

3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是(　　)

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

解析①是正确的;因为a·b=|a||b|cos θ=0⇒|a|=0或|b|=0或cos θ=0⇒a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ≤1,故④是正确的.

答案C

4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有(　　)

A.a⊥b B.a∥b

C.|a|=|b| D.|a|≠|b|

解析f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b.

　　∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.

答案A

5.在矩形ABCD中,AB=√3,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若(AB) ⃗·(AF) ⃗=√3,则(AE) ⃗·(BF) ⃗的值是(　　)

A.-5-√3 B.5+√3 C.4+√3 D.5-√3

解析如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知(AB) ⃗·(AF) ⃗=|(AB) ⃗|·|(AF) ⃗|·cos∠BAF=|(AB) ⃗|·|(AG) ⃗|=√3,故|(AG) ⃗|=√3/("|" (AB) ⃗"|" )=1,