10已知F1,F2是双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2的面积.

解:因为P是双曲线左支上的点,

　　所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36.

　　所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.

　　在△F1PF2中,由余弦定理,

　　得cos∠F1PF2=("|" PF_1 "|" ^2+"|" PF_2 "|" ^2 "-|" F_1 F_2 "|" ^2)/(2"|" PF_1 "|·|" PF_2 "|" )

　　=(100"-" 100)/(2"|" PF_1 "|·|" PF_2 "|" )=0,所以∠F1PF2=90°.

　　所以S_("△" F_1 PF_2 )=1/2|PF1|·|PF2|=1/2×32=16.

能力提升

1已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为(　　)

A.双曲线和一条直线

B.双曲线的一支和一条直线

C.双曲线和一条射线

D.双曲线的一支和一条射线

解析:∵|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,∴当a=3时,2a=6<|F1F2|,此时轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,此时轨迹为一条射线.

答案:D

2若点M在双曲线x^2/16-y^2/4=1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|=(　　)

A.2 B.4 C.8 D.12

解析:∵|MF1|=3|MF2|,且由双曲线的定义知|MF1|-|MF2|=2a=8,∴2|MF2|=8,∴|MF2|=4.

答案:B

3"k>3"是"方程x^2/(3"-" k)+y^2/(k"-" 1)=1表示双曲线"的(　　)

A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:当k>3时,3-k<0,k-1>0,此时方程x^2/(3"-" k)+y^2/(k"-" 1)=1表示双曲线.