答案:9

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.已知x>0,y>0,x+y=1,

求证:(1+1/x)(1+1/y)≥7.

【证明】因为x+y=1,

所以(1+1/x)(1+1/y)=(1+(x+y)/x)(1+(x+y)/y)

=(2+y/x)(2+x/y)=5+2(y/x+x/y).

又因为x>0,y>0,所以y/x>0,x/y>0.

所以y/x+x/y≥2,

当且仅当y/x=x/y,即x=y=1/2时取等号.

则有(1+1/x)(1+1/y)≥5+2×2=9成立.

【一题多解】因为x>0,y>0,1=x+y≥2√xy,当且仅当x=y=1/2时等号成立,

所以xy≤1/4.

则有(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy=1+(x+y)/xy+1/xy=1+2/xy≥1+8=9成立.

8.如图,在四棱锥P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=

60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE.

(2)证明:PD⊥平面ABE.

【证明】(1)在四棱锥P-ABCD中,

因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD.

因为AC⊥CD,PA∩AC=A,