即cosα·sinβ=sinα(2-cosβ),

∵α>β,∴sinα>sinβ.

从而>1,

即cosα>2-cosβcosα+cosβ>2,这是不可能的,表明α>β不成立,由(1)(2)知结论成立.

综合应用

5已知a,b,c,d∈R且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.

证明:假设a,b,c,d都是非负数，

∵a+b=c+d=1,

∴(a+b)(c+d)=1.

又∵(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,

∴ac+bd≤1，这与已知ac+bd>1矛盾.

∴a,b,c,d中至少有一个是负数.

6设a,b,c,d是正数,有下列三个不等式:

①a+b

①②③中至少有一个不正确.

证明:假设①②③式都正确,因为a,b,c,d都是正数,所以①式与②式相乘得(a+b)2

(a+b)cd

又∵a+b>0,

∴4cd<(a+b)(c+d)

∴cd

∴由④得(a+b)2

即a2+b2<-ab,矛盾.

∴不等式①②③中至少有一个不正确.

7已知a,b,c>0,a+b>c.求证:.

证明:假设

则1-,

1+,

(1+a)(1+b)(1+c)+(1+a)(1+b)≤(1+b)(1+c)+(1+a)(1+c),

(c+2)(1+a)(1+b)≤(1+c)(a+b+2)，

2+2b+2a+2ab+c+bc+ac+abc≤a+b+2+ac+bc+2c,

2ab+abc+a+b≤c.①