4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

　　A. B．

　　C. D．

　　【解析】　由题意可得|PF2|＝|F1F2|，

　　∴2＝2c.

　　∴3a＝4c.∴e＝.

　　【答案】　C

　　5．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是(　　)

　　A．(0,1] B．[1,2]

　　C．(0,2] D．[2，＋∞)

　　【解析】　因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.

　　【答案】　B

　　二、填空题

　　6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.

　　【解析】　由题意2b>2c，即b>c，即>c，

　　∴a2－c2>c2，则a2>2c2.

　　∴<，∴0

　　【答案】　

　　7．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．

　　【解析】　设P点到x轴的距离为h，则S＝|F1F2|h，

　　当P点在y轴上时，h最大，此时S最大

　　∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.

【答案】　3