设f(x)＝－x3＋x2＋2ax，若f(x)在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，得a＞－.

所以，当a＞－时，f(x)在上存在单调递增区间．

答案：

已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．

解：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，

∴a<0，b<0.

由y＝ax3＋bx2＋5，得y′＝3ax2＋2bx.

令y′>0，得3ax2＋2bx>0，∴－

令y′<0，得3ax2＋2bx<0，∴x<－或x>0.

∴函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为(－，0)，单调递减区间为(－∞，－)和(0，＋∞)．

设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．

解：f′(x)＝ax2＋1.

若a≥0，f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即只有一个单调区间(－∞，＋∞)，

∴a＜0.

当a＜0时，由f′(x)＞0得－＜x＜ ，

f′(x)＜0得x＜－ 或x＞ ，

即a＜0时，f(x)在上为增函数，在，上为减函数．

综上可知，a＜0时有3个单调区间，分别是

、、.

[能力提升]

已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．

解析：由f(x)＝mx3＋nx2，得f′(x)＝3mx2＋2nx，

f′(－1)＝3m－2n，

因为函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，

所以解得所以f′(x)＝3x2＋6x，

令f′(x)＝3x2＋6x≤0，得－2≤x≤0，即函数的单调减区间是[－2，0]．

又f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以解得－2≤t≤－1.