解A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).

　　(DA) ⃗=(1,0,0),(DB) ⃗=(1,1,0),(DC) ⃗=(0,1,0),(DC_1 ) ⃗=(0,1,1),(DD_1 ) ⃗=(0,0,1),(DA_1 ) ⃗=(1,0,1),(DB_1 ) ⃗=(1,1,1).

★11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD.建立适当的空间直角坐标系,求(MN) ⃗,(DC) ⃗的坐标.

解如图所示,∵PA=AD=AB,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,

∴可设(DA) ⃗=e1,(AB) ⃗=e2,(AP) ⃗=e3.

以e1,e2,e3为坐标向量建立空间直角坐标系A-xyz.

∵(MN) ⃗=(MA) ⃗+(AP) ⃗+(PN) ⃗

=(MA) ⃗+(AP) ⃗+1/2 (PC) ⃗=(MA) ⃗+(AP) ⃗+1/2((PA) ⃗+(AD) ⃗+(DC) ⃗)

=-1/2 e2+e3+1/2(-e3-e1+e2)=-1/2 e1+1/2 e3.

∴(MN) ⃗=("-" 1/2 "," 0"," 1/2),(DC) ⃗=(AB) ⃗=e2=(0,1,0).

★12.已知正四面体P-ABC所有棱长均为1,如图所示,求:

(1)向量(PB) ⃗在(PC) ⃗上的投影;

(2)向量(PB) ⃗在(AP) ⃗上的投影;

(3)D是AC的中点,试求(BP) ⃗在(BD) ⃗上的投影.

解(1)向量(PB) ⃗在(PC) ⃗上的投影为|(PB) ⃗|cos∠BPC=1×cos π/3=1/2.

　　(2)向量(PB) ⃗在(AP) ⃗上的投影为|(PB) ⃗|cos(π-∠APB)=1×cos 2π/3=-1/2.

(3)由正四面体的几何性质知,点P在底面ABC上的射影O是底面△ABC的中心,在Rt△POB中,OB=2/3×√3/2=√3/3.∴cos∠PBO=√3/3.