4.如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）.已知玻璃的折射率为1.5.现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）.求：

（1）从球面射出的光线对应的入射光线与光轴距离的最大值；

（2）距光轴的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离.

解析：（1）如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角iC时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l.

i＝iC ①

设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有

nsin iC＝1 ②

由几何关系有

sin i＝ ③

联立①②③式并利用题给条件，得

l＝R. ④

（2）设与光轴相距的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i1和r1，由折射定律有

nsin i1＝sin r1 ⑤

设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有

＝ ⑥

由几何关系有

∠C＝r1－i1 ⑦

sin i1＝ ⑧

联立⑤⑥⑦⑧式及题给条件得OC＝R≈2.74R.

答案：见解析