设点P(x,y),-2≤x≤2,则(OP) ⃗·(FP) ⃗=x2+x+y2=x2+x+3(1"-" x^2/4)=1/4 x2+x+3=1/4(x+2)2+2,当且仅当x=2时,(OP) ⃗·(FP) ⃗取得最大值6.

答案:6

11.已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.

解:设椭圆方程为 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0),F1(-c,0),c2=a2-b2,

　　则P("-" c"," b√(1"-" c^2/a^2 )),即P("-" c"," b^2/a).

　　∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-b/a=("-" b^2)/ac,

　　∴b=c.

　　又a=√(b^2+c^2 )=√2 c,∴e=c/a=√2/2.

12.设P(x,y)是椭圆 x^2/25+y^2/16=1上的点,且点P的纵坐标y≠0,已知点A(-5,0),B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.

解:是定值.理由如下:

　　∵点P的纵坐标y≠0,∴x≠±5.

　　∴kPA=y/(x+5),kPB=y/(x"-" 5).

　　∴kPA·kPB=y/(x+5)·y/(x"-" 5)=y^2/(x^2 "-" 25).

　　∵点P在椭圆 x^2/25+y^2/16=1上,

　　∴y2=16×(1"-" x^2/25)=16×(25"-" x^2)/25.

　　把y2=16×(25"-" x^2)/25 代入kPA·kPB=y^2/(x^2 "-" 25),

　　得kPA·kPB=(16×(25"-" x^2)/25)/(x^2 "-" 25)=-16/25.

　　∴kPA·kPB为定值,这个定值是-16/25.