∴.

9求证:+(n∈N*).

证明:

∴左式<［(1-)+(-)+...+()］=(1-)<.

拓展探究

10在△ABC中,求证:≤(a,b,c为三边,A,B,C为弧度).

证明:∵b+c>a,有a+b+c>2a,

∴可知.

同理,.

∴.

又∵(a-b)(A-B)≥0,便是aA+bB≥aB+bA,

∴aA+bB+cC≥aB+bA+cC.

同理,aA+bB+cC≥cA+aC+bB,

aA+bB+cC≥cB+bC+aA.

三式相加,得3(aA+bB+cC)≥π(a+b+c),

即≥.

∴原不等式成立.

备选习题

11设n∈N,且n>1,f(n)=1+++...+,求证:f(2n)>.

证明:f(2n)=1+++...++...+

=1++(+)+(

12设三角形三边a,b,c满足关系an+bn=cn(n≥3,n∈N),求证:△ABC为锐角三角形.

证明:∵an+bn=cn,

故()n+()n=1.

∴c>a,c>b,△ABC中c边最长.