2017-2018学年北师大版选修1-2 综合法 同步检测
2017-2018学年北师大版选修1-2   综合法   同步检测第3页

解析:①x2-2x+3=(x-1)2+2>0,

∴x2+3>2x恒成立.

②∵a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a3-b3)(a2-b2),

当a=b时不成立.

③a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0恒成立.

④∵a+-b=(a-b)+()=(a-b)+=(a-b)(1),

由a>b>0得a-b>0,而1的符号不定.

答案:①③

10.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.

解析:由正切函数与正弦函数之间的商数关系转化.

证明:∵tan2α=2tan2β+1,

∴=+1.

∴=2,

即.

∴cos2β=2cos2α=2-2sin2α.

∴1-sin2β=2-2sin2α.

∴sin2β=2sin2α-1.

11.若+=1(a、b、x、y∈R+,且a≠b),求证:x+y≥(+)2.

解析:本题可构造均值不等式证明.

证明:∵x、y、a、b>0且+=1,

∴x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2

=a+b+2=(+)2.

12.已知f(x)=x2-x+25且|x-a|<1.

求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

解析:本题可作差、分解因式逐步构造放缩.

证明:|f(x)-f(a)|=|x2-x+25-a2+a-25|

=|x2-a2-(x-a)|

=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|

=|(x-a)+(2a-1)|