解析:①x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
∴x2+3>2x恒成立.
②∵a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a3-b3)(a2-b2),
当a=b时不成立.
③a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0恒成立.
④∵a+-b=(a-b)+()=(a-b)+=(a-b)(1),
由a>b>0得a-b>0,而1的符号不定.
答案:①③
10.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
解析:由正切函数与正弦函数之间的商数关系转化.
证明:∵tan2α=2tan2β+1,
∴=+1.
∴=2,
即.
∴cos2β=2cos2α=2-2sin2α.
∴1-sin2β=2-2sin2α.
∴sin2β=2sin2α-1.
11.若+=1(a、b、x、y∈R+,且a≠b),求证:x+y≥(+)2.
解析:本题可构造均值不等式证明.
证明:∵x、y、a、b>0且+=1,
∴x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2
=a+b+2=(+)2.
12.已知f(x)=x2-x+25且|x-a|<1.
求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
解析:本题可作差、分解因式逐步构造放缩.
证明:|f(x)-f(a)|=|x2-x+25-a2+a-25|
=|x2-a2-(x-a)|
=|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|
=|(x-a)+(2a-1)|