4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,且A1M=AN=(√2 a)/3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　).

　　A.相交 B.平行

　　C.垂直 D.不能确定

　　【解析】如图,以C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴,y轴, 轴,建立空间直角坐标系.

　　因为A1M=AN=(√2 a)/3,所以点M(a"," 2/3 a"," 1/3 a),N(2/3 a"," 2/3 a"," a),

　　所以(MN) ⃗=("-" 1/3 a"," 0"," 2/3 a).

　　又因为点C1(0,0,0),D1(0,a,0),

　　所以(C_1 D_1 ) ⃗=(0,a,0),

　　所以(MN) ⃗·(C_1 D_1 ) ⃗=0,所以(MN) ⃗⊥(C_1 D_1 ) ⃗.

　　又因为(C_1 D_1 ) ⃗是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,

　　所以MN∥平面BB1C1C.

　　【答案】B

5.△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD长为　　　　.

　　【解析】因为点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),

　　所以(AB) ⃗=(4,-5,0),(AC) ⃗=(0,4,-3),

　　又因为点D在直线AC上,

　　所以可设(AD) ⃗=λ(AC) ⃗=(0,4λ,-3λ),

　　由此可得(BD) ⃗=(AD) ⃗-(AB) ⃗=(0,4λ,-3λ)-(4,-5,0)=(-4,4λ+5,-3λ).

　　又因为(BD) ⃗⊥(AC) ⃗,

　　所以(BD) ⃗·(AC) ⃗=(-4)×0+(4λ+5)×4+(-3λ)×(-3)=0,解得λ=-4/5.

　　所以(BD) ⃗=("-" 4"," 9/5 "," 12/5),

　　所以|(BD) ⃗|=√("(-" 4")" ^2+(9/5)^2+(12/5)^2 )=5.

　　【答案】5

6.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,(AB) ⃗=(2,-1,-4),(AD) ⃗=(4,2,0),(AP) ⃗=(-1,2,-1),给出下列结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③(AP) ⃗是平面ABCD的法向量;④(AP) ⃗∥(BD) ⃗.其中正确的是　　　　.(填序号)

　　【解析】∵(AB) ⃗·(AP) ⃗=0,(AD) ⃗·(AP) ⃗=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,故①②正确.

　　又(AB) ⃗与(AD) ⃗不平行,∴(AP) ⃗是平面ABCD的法向量,故③正确.

　　∵(BD) ⃗=(AD) ⃗-(AB) ⃗=(2,3,4),(AP) ⃗=(-1,2,-1),

∴(BD) ⃗与(AP) ⃗不平行,故④错误.