图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.

答案:n2-n+1

综合运用

6如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是( )

A.P(n)对n∈N*成立

B.P(n)对n>4且n∈N*成立

C.P(n)对n<4且n∈N*成立

D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立

解析:由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.

答案:D

7用数学归纳法证明"1+++...+1)"时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( )

A.2k-1 B.2k-1

C.2k D.2k+1

解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为;由n=k,末项为到n=k+1,末项为=,∴应增加的项数为2k.

答案:C

8观察下表:

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

......

设第n行的各数之和为Sn,则=__________.

解析:第一行1=12,

第二行2+3+4=9=32,

第三行3+4+5+6+7=25=52,

第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.

归纳:第n项的各数之和Sn=(2n-1)2,

=4.

答案:4

9已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α,β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.

解析:

∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.

又f(1)=-lga,