§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
5分钟训练(预习类训练,可用于课前)
1.下列等式中不正确的是( )
A.++=0 B.-=
C.0·=0 D.λ(μa)=λμa
解析:选项A说明首尾相连的向量之和为0,还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定,另外运算律也要熟练掌握.
0·≠0.
答案:C
2.化简:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a); (2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c);
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b); (4)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b).
解:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b;
(2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c;
(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2(x-y)b;
(4)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=()a+()b=a+b.
3.已知两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
解:分别作向量、、,过点A、C作直线AC,观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+3b-(a+2b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2,
所以,A、B、C三点共线.
10分钟训练(强化类训练,可用于课中)
1.已知菱形的两邻边=a,=b,其对角线交点为D,则等于( )
A.a+b B.a+b C.(a+b) D.a+b
解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.
答案:C
2.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括A、C点),则等于( )