★10.求证:3/2-1/(n+1)<1+1/2^2 +1/3^2 +...+1/n^2 <2-1/n(n∈N+,且n≥2).

证明∵k(k+1)>k2>k(k-1)(k∈N+,且k≥2),

　　∴1/(k"(" k+1")" )<1/k^2 <1/(k"(" k"-" 1")" ),

　　即1/k-1/(k+1)<1/k^2 <1/(k"-" 1)-1/k(k∈N+,且k≥2).

　　分别令k=2,3,...,n,得

　　1/2-1/3<1/2^2 <1-1/2,

　　1/3-1/4<1/3^2 <1/2-1/3,

　　......

　　1/n-1/(n+1)<1/n^2 <1/(n"-" 1)-1/n.

　　将这些不等式相加,得

　　1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)<1/2^2 +1/3^2 +...+1/n^2 <1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n"-" 1)-1/n,

　　即1/2-1/(n+1)<1/2^2 +1/3^2 +...+1/n^2 <1-1/n,

　　∴1+1/2-1/(n+1)<1+1/2^2 +1/3^2 +...+1/n^2 <1+1-1/n,

　　即3/2-1/(n+1)<1+1/2^2 +1/3^2 +...+1/n^2 <2-1/n(n∈N+,且n≥2)成立.