2　导数在实际问题中的应用

2.1　实际问题中导数的意义

1.某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是(　　) Z 学 ]

A.-3 B.3 C.6 D.-6

答案:D

2.自由下落的物体的运动方程为s(t)=1/2gt2,g=9.8 m/s2,若lim┬(Δt"→" 0) (s"(" 1+Δt")-" s"(" 1")" )/Δt=g=9.8 m/s,则下面说法正确的是(　　) | Z|X|X|K]

A.9.8 m/s是物体在0 1 s这段时间内的平均速度

B.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的速度

C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的瞬时速度

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速度

解析:由导数的定义知(lim)┬(Δt"→" 0) (s"(" 1+Δt")-" s"(" 1")" )/Δt=s'(1),其含义是物体在t=1 s时的瞬时速度.

答案:C Z 学 Z Z

3.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是 m,t的单位是s,那么该物体在3 s末的瞬时速度是　　　　　. 学 ] 学 ]

答案:5 m/s

4.某收音机制造厂管理者通过对上午工人工作效率的研究表明:一个中等技术水平的工人,从8:00开始工作,t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t,则Q'(2)=　　　　　,它的实际意义为　

　.

答案:36台/时　10:00时,该工人装配收音机的速度为36台/时 ]

5.一个质量为m=3 kg的物体做直线运动,设运动距离s(单位:cm)与时间t(单位:s)的关系可以用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能U=1/2mv2,则该物体开始运动后第5 s时的动能为　　　.

解析:因为s'(t)=2t,所以s'(5)=10 cm/s,即5 s时的瞬时速度为10 cm/s,即0.1 m/s.故U=1/2×3×(0.1)2=0.015(J).

答案:0.015 J 学 ]

6.已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比,如果车轮启动后转动第一圈需要0.8 s,则转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度为　　　　　.

解析:设时间为t时,车轮旋转的角度为f(t),则f(t)=kt2(k≠0).由题意知2π=k·0.82,则k=25π/8. Z

所以f(t)=25π/8t2,则f'(t)=25π/4t,f'(3.2)=20π rad/s,即转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度为20π rad/s.