∴x1+x2=-6m/4,x1x2=(3m^2 "-" 3)/4.

　　∵|AB|=√(1+k^2 )|x1-x2|,

　　∴√2·√(("-" 6m/4)^2 "-" 4"·" (3m^2 "-" 3)/4)=(3√2)/2,

　　∴m=±1,∴直线l的方程为y=x±1.

　　【答案】y=x±1

6.过点M(1,1)作斜率为-1/2的直线与椭圆C:x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.

　　【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得("(" x_1 "-" x_2 ")(" x_1+x_2 ")" )/a^2 +("(" y_1 "-" y_2 ")(" y_1+y_2 ")" )/b^2 =0,根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且(y_1 "-" y_2)/(x_1 "-" x_2 )=-1/2,所以2/a^2 +2/b^2 ×("-" 1/2)=0,整理得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以c/a=√2/2,即e=√2/2.

　　【答案】√2/2

7.已知椭圆E的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且一个焦点为(0,-√2),点A(1,√2)在该椭圆上.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.

　　【解析】(1)椭圆的一个焦点为(0,-√2),设椭圆方程为y^2/a^2 +x^2/(a^2 "-" 2)=1(a>√2).

　　将点A(1,√2)代入方程,得2/a^2 +1/(a^2 "-" 2)=1,

　　整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),

　　故所求椭圆方程为y^2/4+x^2/2=1.

　　(2)设直线BC的方程为y=√2x+m,点B(x1,y1),C(x2,y2),

　　代入椭圆方程并化简,得4x2+2√2mx+m2-4=0,

　　由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,

　　可得0≤m2<8.　( )

　　又x1+x2=-√2/2m,x1x2=(m^2 "-" 4)/4,

　　故|BC|=√3|x1-x2|=(√3 "·" √(16"-" 2m^2 ))/2.

　　又点A到直线BC的距离为d=("|" m"|" )/√3,

　　故S△ABC=1/2|BC|·d=√(m^2 "(" 16"-" 2m^2 ")" )/4

　　≤1/(4√2)·(2m^2+"(" 16"-" 2m^2 ")" )/2=√2,

　　当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号(满足 式),此时直线l的方程为y=√2x±2.

拓展提升(水平二)

8.设椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点.若|MN|=16,则椭圆的方程为(　　).