甘肃省兰州一中2018-2019-2学期高二年级3月考试

数学（理）参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A D C C B B A A D 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13． ； 14．； 15．[1，9]； 16．

三、解答题（本大题共6 小题，共70分）

17. （10分）求证： ex≥1＋x >ln(1＋x)．

　证明：根据题意，应有x>－1，

　设f(x)＝ex－(1＋x)，则 f′(x)＝ex －1，

　由f′(x)=0，得 x=0.

　当－1< x < 0时，f′(x)<0；当x > 0时，f′(x)>0．

　∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min= f(0)=0．

　∴ 当x>－1，f(x)≥f(0)=0，

　即 ex≥1＋x．

　设g(x)＝1+x－ln(1＋x)，则g′(x)＝1－＝，

　由g′(x)=0，得 x=0.

　当－1< x < 0时，g′(x)<0；当x > 0时，g′(x)>0．

　∴g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=1．

　∴ 当x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，

　即1＋x >ln(1＋x)．

18. （12分）已知函数y=f(x)在区间[a，b]是的图像连续不间断，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.

证明：因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不间断，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，

假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1（x1≠x0），即f(x1)=0，

由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；

若x1>x0，则f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾，

若x1 f(x0)，即0>0，矛盾，