证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，

　　只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．

　　又因为a＋b＞0，所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．

　　即需证a2－2ab＋b2＞0成立，

　　即需证(a－b)2＞0成立．

　　而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．

　　由此命题得证．

　　法二：a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2＞0⇔a2－2ab＋b2＞0⇔a2－ab＋b2＞ab.

　　因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．

　　所以a3＋b3＞a2b＋ab2.

　　8．在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列，若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

　　证明：由已知条件得

　　消去x，y得2a＝＋，且a>0，b>0，c>0.

　　要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，

　　只需证a＋1≥

　　只需证a＋1≥，即证2a≥b＋c.

　　由于2a＝＋，只需证＋≥b＋c，

　　只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，

　　即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.

　　因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．

　　二、综合过关训练

1．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：