6.已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求的最大值.

解：由柯西不等式，得

()2=(1×+1×+1×)2

≤(12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1)

=3［4(a+b+c)+3］=21.

当且仅当a=b=c=时，取"=".

故的最大值为.

我综合我发展

7.三角形三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc，r为三角形内切圆半径.若ha+hb+hc的值为9r.试判断此三角形的形状.

思路解析：记三角形的面积为S，则2S=aha=bhb=chc，又因为2S=r(a+b+c),

所以ha+hb+hc=2S(++)

=r(a+b+c)(++).

由柯西不等式，得

(a+b+c)(++)

=［()2+()2+()2］［()2+()2+()2］

≥［×+×+×］2=9.

当且仅当a=b=c时取等号.

所以ha+hb+hc=9r,当且仅当a=b=c时取等号.

故ha+hb+hc=9r时，三角形为等边三角形.

8.△ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R.求证：(a2+b2+c2)()≥36R2.

证明：由三角形的正弦定理，得

sinA=,所以.

同理，.

于是左边=(a2+b2+c2)()