又y=e-x-e-2x=e-2x(ex-1),

　　当x>0时,ex-1>0,∴y>0.

　　函数图像如图.

　　由表和图可知,若0

　　当x=0时,y有最小值0.

　　若a≥ln 2,在区间[0,a]上,当x=ln 2时,y有最大值1/4;

　　当x=0时,y有最小值0.

12.设a为实数,f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值;

(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.

分析:利用导数证明不等式是导数应用的一个方面,对于ex>x2-2ax+1的证明可构造函数g(x)=ex-(x2-2ax+1),根据g(x)的单调性、最值情况证明g(x)>0,从而得不等式ex>x2-2ax+1成立.

(1)解:由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f'(x)=ex-2,x∈R.

　　令f'(x)=0,得x=ln 2.

　　于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:

x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f'(x) - 0 + f(x) ↘ 2(1-ln 2+a) ↗

　　故f(x)的递减区间是(-∞,ln 2),递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).

(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.

　　由(1)知当a>ln 2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.

　　于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上是增函数.

　　于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).

　　而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.

　　即ex-x2+ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.

13.(拔高题)已知函数f(x)=ax3-12x,f(x)的导函数为f'(x).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若f'(1)=-6,求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.

解:(1)f'(x)=3ax2-12=3(ax2-4).

　　当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,+∞)上是减少的.

　　当a>0时,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x ("-∞,-" 2/√a) -2/√a ("-" 2/√a "," 2/√a) 2/√a (2/√a "," +"∞" ) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

　　此时,f(x)在("-∞,-" 2/√a),(2/√a "," +"∞" )上是增加的,在("-" 2/√a "," 2/√a)上是减少的.

　　(2)由f'(1)=3a-12=-6,得a=2.

　　由(1)知,f(x)在(-1,√2)上是减少的,在(√2,3)上是增加的.

　　因为f(-1)=10,f(√2)=-8√2,f(3)=18,

　　所以f(x)在[-1,3]上的最大值为18,最小值为-8√2.