5.已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>n/2时,f(2k+1)比f(2k)多的项为　　　　　　　　　　　　　.

解析f(2k+1)-f(2k)=1+1/2+1/3+...+1/2^(k+1) -(1+1/2+1/3+"..." +1/2^k )=1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/2^(k+1) .

答案1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/2^(k+1)

6.已知x>0,观察下列几个不等式:x+1/x≥2;x+4/x^2 ≥3;x+27/x^3 ≥4;x+256/x^4 ≥5...归纳猜想一般的不等式为　　　　　　　　　　　　　.

答案x+n^n/x^n ≥n+1(n为正整数)

7.用数学归纳法证明(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n(a,b是非负实数,n∈N+)时,假设当n=k时不等式(a^k+b^k)/2≥((a+b)/2)^k(*)成立,再推证当n=k+1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘　　　　　.

解析对比k与k+1时的结论可知,两边只需同乘(a+b)/2即可.

答案(a+b)/2

8.用数学归纳法证明1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n(n∈N+).

证明(1)当n=1时,左边=1,右边=2.左边<右边,不等式成立.

　　(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,

　　即1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k.

　　当n=k+1时,1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)=(2√k √(k+1)+1)/√(k+1)<("(" √k ")" ^2+"(" √(k+1) ")" ^2+1)/√(k+1)=(2"(" k+1")" )/√(k+1)=2√(k+1).

　　所以当n=k+1时,不等式成立.

　　由(1)(2)可知,原不等式对任意n∈N+都成立.

9.导学号26394068若不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>a/24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.

解取n=1,则有1/2+1/3+1/4>a/24成立,

　　所以26/24>a/24,因此a<26,取a=25,

　　即正整数a的最大值为25.

　　以下用数学归纳法证明.

　　1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+...+1/(3n+1)>25/24对一切正整数n都成立.

　　(1)当n=1时不等式成立.

　　(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,

　　即1/(k+1)+1/(k+2)+1/(k+3)+...+1/(3k+1)>25/24,

　　当n=k+1时,

1/("(" k+1")" +1)+1/("(" k+1")" +2)+1/("(" k+1")" +3)+...+1/(3"(" k+1")" +1)