故OA与BC所成角的余弦值为(3"-" 2√2)/5.

拓展提升(水平二)

8.若正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　).

A.2 B.√3 C.√5 D.√7

【解析】

如图,设(AB) ⃗=a,(AC) ⃗=b,(AA_1 ) ⃗=c.

由题意知|a|=|b|=|c|=2,

且=60°,==90°.

因为(EF) ⃗=(EA) ⃗+(AA_1 ) ⃗+(A_1 F) ⃗=-1/2 (AB) ⃗+(AA_1 ) ⃗+1/2 (AC) ⃗=-1/2a+c+1/2b,

所以|(EF) ⃗|2=1/4a2+1/4b2+c2+2-1/2a·1/2b+1/2b·c-1/2a·c

=1/4×22+1/4×22+22+2×("-" 1/4)×2×2×cos 60°

=1+1+4-1=5,

所以|(EF) ⃗|=√5.

【答案】C

9.设P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在α,β平面上引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为(　　).

A.60° B.70°　　 C.80°　　　　D.90°

【解析】不妨设PM=a,PN=b,作ME⊥AB于点E,NF⊥AB于点F,如图.

因为∠EPM=∠FPN=45°,

所以PE=√2/2a,PF=√2/2b,

所以(EM) ⃗·(FN) ⃗=((PM) ⃗-(PE) ⃗)·((PN) ⃗-(PF) ⃗)

=(PM) ⃗·(PN) ⃗-(PM) ⃗·(PF) ⃗-(PE) ⃗·(PN) ⃗+(PE) ⃗·(PF) ⃗

=abcos 60°-a×√2/2bcos 45°-√2/2abcos 45°+√2/2a×√2/2b

=ab/2-ab/2-ab/2+ab/2=0,

所以(EM) ⃗⊥(FN) ⃗,所以二面角α-AB-β的大小为90°.

【答案】D

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: