（1）因为展开式中含的项为：；展开式中含的项为：

得：得到当时，的展开式中二项式系数最大的项为

（2）由，，

当时，，当时，，从而得到单调性，求解最值。

解：（1）展开式中含的项为：；展开式中含的项为：

得：

当时，的展开式中二项式系数最大的项为

（2）由，，

当时，，当时，，

所以 在递减，在递增，

得的最小值为, 此时

12．记f(n)=(3n+2)（C_2^2+C_3^2+C_4^2+⋯+C_n^2)(n≥2,n∈N^*).

（1）求f(2),f(3),f(4)的值；

（2）当n≥2,n∈N^*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明.

【答案】（1）f(2)=8,f(3)=44,f(4)=140（2）4.

【解析】

试题分析：（1）先化简f(n)=(3n+2)(C_2^2+C_3^2+C_4^2+⋯+C_n^2)=(3n+2)C_(n+1)^3，再代入求值：f(2)=8,f(3)=44,f(4)=140（2）猜想所有f(n)的最大公约数为4.即证f(k)=(3k+2)C_(k+1)^3能被4整除，因为当n=k+1时，f(k+1)=(3k+5)C_(k+2)^3，根据组合数性质化简得

(3k+2)C_(k+2)^3+3C_(k+2)^3 =(3k+2)(C_(k+1)^3+C_(k+1)^2)+(k+2)C_(k+1)^2 =(3k+2)C_(k+1)^3+4(k+1)C_(k+1)^2，以下就可得证

试题解析：解：（1）因为f(n)=(3n+2)(C_2^2+C_3^2+C_4^2+⋯+C_n^2)=(3n+2)C_(n+1)^3，