解析设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,

　　得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.

　　因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,

　　所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.

　　所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,

　　即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.

答案B

6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是　　　　　　　　.

解析a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.

答案[20,30]

7.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是　　　　　　　　.

解析由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.

答案S1≥S2

8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.

证明不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,

　　由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,

　　三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).

　　因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,

　　所以2(a3+b3+c3)≥6abc,

　　即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).

9.设a,b均为正数,求证(a/b)^2+(b/a)^2≥a/b+b/a.

证明不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,1/b≥1/a>0,

　　由不等式性质,得a^2/b≥b^2/a>0.

　　则由排序不等式,可得a^2/b·1/b+b^2/a·1/a≥a^2/b·1/a+b^2/a·1/b,即(a/b)^2+(b/a)^2≥a/b+b/a.

10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤(a^4+b^4+c^4)/abc.

证明由题意不妨设a≥b≥c>0.

　　由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.

根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.0①