求证：∠BAO＝∠CAO，

19．已知：点P与直线a，试证；过点P与a垂直的直线共面．

20．四面体ABCD的棱AB⊥CD的充要条件是AC2＋BD2＝AD2＋BC2．

四、思考题

对于一个三角形，它的三条高线总相交于-点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢?若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢?这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展．

参考答案

一、选择题

1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D

二、填空题

9． 10．③、④ 11．4 12．5 13．4 14．180°

三、解答题

15．证明：设β为过a的平面，且α∩β＝l．

∵a∥α，∴a∥l．

∵b⊥l，∴b⊥a．

16．证明：∵AB⊥面B1C，BC1为AC1在平面B1C上的射影，且B1E⊥BC1，∴由三垂线定理知B1E⊥AC1．

又∵AA1⊥面A1C1，AB＝BC，A1C1⊥B1D1，A1C1是AC1在面A1C1上的射影

∴由三垂线定理得AC1⊥B1D1．

又∵B1E∩B1D1＝B1，

∴AC1⊥平面EB1D1．

17．证明：∵SA⊥面ABC，BCÌ面ABC，

∴SA⊥BC．

又∵AB⊥BC且SA∩AB＝A，

∴BC⊥面SAB，AQÌ面SAB．

∴BC⊥AQ，又AQ⊥SB，BC∩SB＝B．

∵AQ⊥面SBC．

∴PQ是斜线AP在平面SBC上的射影，

又∵AQ⊥SC，

∴由三垂线定理的逆定理可得PQ⊥SC．

18．证明：∵PO⊥α，PE＝PF，

∴OE＝OF，

又∵PE⊥AB、PF⊥AC，

∴OE⊥AB、OF⊥AC．

故Rt△AOE≌Rt△AOF，

∴∠BAO＝∠CAO．

19．证明：如图，在点P和直线a所在的平面β内，过点P作直线a的垂线b，设垂足为A．设过点P与β垂直的直线为c，则必有c⊥a，再设由b、c确定的平面为α，则必有a⊥α．

设l是过点P与a垂直的直线，下证：lÌα．

若lËα，设由l与c确定的平面为α′，