过M作MN⊥y轴与N,则PN=NQ,MN=c，

　　PN,NQ均为半径,则△PQM为等腰三角形，

　　∴PN=NQ=√((b^2/a)^2-c^2 )，

　　∵∠PMQ为钝角,则∠PMN=∠QMN>45°，

　　即PN=NQ>MN=c

　　所以得√((b^2/a)^2-c^2 )>c,即b^4/a^2 -c^2>c^2，

　　得(a^2-c^2 )^2/a^2 >2c^2，

　　a2-2c2+c2e2>2c2，

　　1/e^2 -4+e^2>0，

　　e4-4e2+1>0

　　(e2-2)2-3>0

　　e2-2<-√3(0

　　e2<-√3+2

　　∴0

　　【点睛】

　　椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

　　①求出a，c，代入公式e=c/a；

　　②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

　　11．[√2-1,1).

　　【解析】

　　【分析】

　　由题意首先求得|PF2|的长度，然后结合焦半径的范围得到关于离心率的不等式，求解不等式即可确定离心率的范围.

　　【详解】

　　由题意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a ，

　　由于a-c≤|PF2|≤a+c，

　　所以(a+c)(1+e)≥2a ①，

　　且(a-c)(1+e)≤2a ②，

　　①式两边除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥√2-1

　　②式两边除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，

　　所以离心率e的取值范围是[√2-1,1).

　　【点睛】

　　椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

　　①求出a，c，代入公式e=c/a；

　　②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

　　12．(-20/3,4).

　　【解析】

　　【分析】

　　设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b的不等式即可求得实数b的取值范围.

　　【详解】

　　由题意O(0,0),O1(4,0).设P(x,y)，则

　　∵PB=2PA，∴√((x-4)^2+y^2-4)=2√(x^2+y^2-1)，

　　∴(x-4)2+y2=4(x2+y2)，

　　∴x2+y2+8/3 x-16/3=0，

　　圆心坐标为(-4/3,0),半径为8/3，

　　∵动点P在直线x+√3y-b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，

　　∴直线与圆x2+y2+8/3 x-16/3=0相交，

　　∴圆心到直线的距离d=|-4/3-b|/√(1+3)<8/3，

　　∴-4/3-16/3

　　即实数b的取值范围是(-20/3,4).

【点睛】