6用数学归纳法证明"当n∈N+时,求证:1+2+22+23+...+25n-1是31的倍数",当n=1时,原式为　　　　　　　　,从n=k到n=k+1时需增添的项是　　　　　　　　.

解析：当n=1时,原式应加到25×1-1=24,

　　故原式为1+2+22+23+24.

　　从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+...+25(k+1)-1.

答案：1+2+22+23+24　25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4

7用数学归纳法证明34n+2+52n+1能被14整除的过程中,当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为　　　　　　　.

解析：当n=k+1时,34(k+1)+2+52(k+1)+1=81×34k+2+25×52k+1=25(34k+2+52k+1)+56×34k+2.

答案：25(34k+2+52k+1)+56·34k+2

8是否存在常数a,b使等式12+22+32+...+n2+(n-1)2+...+22+12=an(bn2+1)对于一切n∈N+都成立?若存在,求出a,b,并证明;若不存在,说明理由.

分析：令n=1,2解方程组求得a,b的值,再用数学归纳法证明a,b的值对一切n∈N+等式都成立.

解假设存在a,b使12+22+32+...+n2+(n-1)2+...+22+12=an(bn2+1)对于一切n∈N+都成立,

　　令n=1,2,得{■(a"(" b+1")" =1"," @a"(" 4b+1")" =3"," )┤解得{■(a=1/3 "," @b=2"." )┤

　　下面用数学归纳法证明a=1/3,b=2时等式对一切n∈N+都成立.

　　(1)当n=1时,已证.

　　(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即

12+22+32+...+k2+(k-1)2+...+22+12=1/3 k(2k2+1),