∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

又2

5．已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．

解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．

当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0

所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，).

易错点 对函数单调性的充要条件理解不透

6.已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

易错分析　设函数y＝f(x)在某个区间内可导，则当f′(x)>0时，f(x)为增函数，其解集为函数f(x)的单调递增区间；当f′(x)<0时，f(x)为减函数，其解集为函数f(x)的单调递减区间．反之，如果f(x)在某区间上单调递增(单调递减)，则f′(x)>0(f′(x)<0)不一定恒成立，即f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在对应区间上单调递增(单调递减)的充分不必要条件．已知函数f(x)(含参数)的单调性确定参数的取值范围时，要注意不可忽略f′(x)＝0的情况．

解　(1)f′(x)＝3x2－a.

①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

②当a>0时，令3x2－a＝0得x＝±；

当x>或x<－时，f′(x)>0；

当－

因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．

综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；

当a>0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．

(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，

所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．