【证明】　法一：分析法

　　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．

　　只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，

　　又因a＋b>0，

　　只需证a2－ab＋b2>ab成立，

　　只需证a2－2ab＋b2>0成立，

　　即需证(a－b)2>0成立．

　　而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，

　　由此命题得证．

　　法二：综合法

　　a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.

　　注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得

　　(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．

　　∴a3＋b3>a2b＋ab2.

　　8.(2018·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.

　　【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，

　　只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，

　　即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，

　　因为2absin(C＋30°)≤2ab，

　　只需证a2＋b2≥2ab，

　　显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.

[能力提升]