解析:如图所示,PF与圆相切于点A,且A为PF的中点.设点F1为椭圆的另一个焦点.又O为F1F的中点,|PF1|+|PF|=2a,∴|PF1|=2|AO|=2b,|PF|=2a-2b,∴("|" PF"|" )/2=|AF|=a-b.

　　在Rt△OAF中,|OA|=b,|OF|=c,

　　∴c2=b2+(a-b)2,即3b=2a,

　　令a=3,则b=2,c=√5,∴e=√5/3.

答案:A

5.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=√3/2 且过点P(2,3),则此椭圆的标准方程是(　　)

A.x^2/40+y^2/10=1　B.y^2/40+x^2/10=1

C.x^2/40+y^2/10=1或 y^2/25+(4x^2)/25=1　D.y^2/25+(4x^2)/25=1

解析:(方法一)将点P的坐标代入各选项的方程中进行检验,排除B.选项C中两椭圆都过点P且离心率都等于 √3/2,故选C.

　　(方法二)分焦点在x轴、y轴上两种情况,用待定系数法求解.

　　(1)若所求椭圆的焦点在x轴上,设其方程为 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1,则{■(1"-" b^2/a^2 =3/4 "," @4/a^2 +9/b^2 =1"," )┤解得{■(a^2=40"," @b^2=10"." )┤

　　故所求椭圆的标准方程为 x^2/40+y^2/10=1.

　　(2)同理可得焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为 y^2/25+(4x^2)/25=1.

答案:C

6.过椭圆 x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率e为(　　)

A.√2/2 B.√3/3 C.1/2 D.1/3

解析:设|F1F2|=2c,则|PF1|=(2√3)/3 c,|PF2|=(4√3)/3 c,

　　∴|PF1|+|PF2|=2√3 c=2a,

　　∴离心率为 c/a=√3/3.

答案:B