当边数为(k+1)时,如图,把(k+1)边形分割为一个k边形和△A1AkAk+1,因此凸(k+1)边形的内角和为凸k边形内角和加上△A1AkAk+1的内角和.

　　∴f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)·180°+180°

　　=[(k+1)-2]·180°.

　　∴当n=k+1时命题也成立.

　　由(1)(2)得,当n≥3时,凸n边形的内角和为f(n)=(n-2)·180°.

10.设a∈N+,n∈N+,求证:an+2+(a+1)2n+1能被a2+a+1整除.

证明(1)当n=1时,

　　a3+(a+1)3=[a+(a+1)][a2-a(a+1)+(a+1)2]=(2a+1)(a2+a+1),

　　结论成立.

　　(2)假设当n=k时,结论成立,即ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,有

　　a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1=a·ak+2+(a+1)2(a+1)2k+1

　　=a[ak+2+(a+1)2k+1]+(a+1)2(a+1)2k+1-a(a+1)2k+1

　　=a[ak+2+(a+1)2k+1]+(a2+a+1)(a+1)2k+1.

　　因为ak+2+(a+1)2k+1,a2+a+1均能被a2+a+1整除,又a∈N+,故a(k+1)+2+(a+1)2(k+1)+1能被a2+a+1整除,即当n=k+1时,结论也成立.

　　由(1)(2)可知,原结论成立.

★11.设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,....

(1)求a1,a2;

(2)猜想数列{Sn}的通项公式,并给出严格证明.

分析第(1)题代入n=1和n=2即可求出.第(2)题先根据前n项猜出通项,再利用数学归纳法给予证明.

解(1)当n=1时,x2-a1x-a1=0的一根为S1-1=a1-1,代入,得(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=1/2.

　　当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-1/2.

　　于是(a_2 "-" 1/2)^2-a2(a_2 "-" 1/2)-a2=0,解得a2=1/6.

　　(2)由题意知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,

　　即S_n^2-2Sn+1-anSn=0.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1,