∴双曲线的标准方程为x2－＝1.

　　答案：x2－＝1

　　设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1∶PF2＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．

　　解析：双曲线的a＝1，b＝2，c＝.

　　设PF1＝3r，PF2＝2r.∵PF1－PF2＝2a＝2，∴r＝2.

　　于是PF1＝6，PF2＝4.∵PF＋PF＝52＝F1F，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2＝90°.

　　∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×6×4＝12.

　　答案：12

　　已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．

　　解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为PF1－PF2＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF ＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.

　　答案：2

　　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．

　　解析：设双曲线的右焦点为F1，

　　则由双曲线的定义可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1，

　　∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA.

　　∴当PF＋PA最小时需满足PF1＋PA最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1＋PA最小，易求得最小值为AF1＝5，故所求最小值为9.

　　答案：9

　　在△ABC中，已知AB＝4，且2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．

　　解：

　　如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，

　　由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(a′，b′，c′分别为A，B，C所对的边)，

　　∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a′＋c′＝2b′，

　　即b′－a′＝，从而有CA－CB＝AB＝2

　　由双曲线的定义知，顶点C的轨迹是双曲线的右支，

　　a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.

∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．